Арифметична прогресія

Арифметична прогресія (AP) — це послідовність, у якій різниці між кожними двома послідовними членами однакові. Наприклад, послідовність 2, 6, 10, 14, … є арифметичною прогресією (AP), оскільки вона відповідає шаблону, де кожне число отримується шляхом додавання 4 до попереднього члена.

У цій статті ми розглянемо концепцію арифметичної прогресії, формули AP для знаходження її n- ^го члена, загальну різницю та суму n членів AP. Ми будемо розв’язувати різні приклади на основі формули арифметичної прогресії для кращого розуміння поняття.

Що таке арифметична прогресія?

Арифметична прогресія (АП) — це послідовність чисел, у якій різниці між кожними двома послідовними членами однакові. У цій послідовності кожен член, окрім першого, отримується шляхом додавання фіксованого числа до його попереднього члена. Це фіксоване число відоме як загальна різниця і позначається буквою «d». Перший член арифметичної прогресії зазвичай позначають «a» або «a ₁ ».

Наприклад, 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, … є арифметичною прогресією, оскільки різниці між кожними двома послідовними членами однакові (як 4). тобто 5 – 1 = 9 – 5 = 13 – 9 = 17 – 13 = 21 – 17 = 25 – 21 = 29 – 25 = 33 – 29 = … = 4. Ми також можемо помітити, що кожен член (крім перший член) цього AP виходить шляхом додавання 4 до його попереднього члена. У цій арифметичній прогресії:

• a = 1 (перший доданок)
• d = 4 («загальна різниця» між термінами)

Таким чином, арифметичну прогресію, загалом, можна записати так: {a, a + d, a + 2d, a + 3d, … }.

У наведеному вище прикладі ми маємо: {a, a + d, a + 2d, a + 3d, … } = {1, 1 + 4, 1 + 2 × 4, 1 + 3 × 4, … } = {1, 5, 9, 13, … }

Формула арифметичної прогресії (формули AP)

Нижче наведено список формул арифметичної прогресії для першого члена «a» AP і загальної різниці «d», які зазвичай використовуються для вирішення різноманітних задач, пов’язаних з AP:

• Загальна різниця AP: d = a ₂ – a ₁ = a ₃ – a ₂ = a ₄ – a ₃ = … = a _n – a _n-1
• n ^-й член AP: a _n = a + (n – 1)d
• Сума n членів AP: S _n = n/2 (2a + (n – 1) d) = n/2 (a + l), де l — останній член арифметичної прогресії.

Наступне зображення містить усі формули AP.

Загальні терміни, що використовуються в арифметичній прогресії

Відтепер ми будемо скорочувати арифметичну прогресію як AP. AP зазвичай відображається так: a ₁ , a ₂ , a ₃ , . . . Він включає наступну термінологію.

Перший член арифметичної прогресії:

Як випливає з назви, перший член AP є першим числом прогресії. Зазвичай це позначається ₁ (або) a. Наприклад, у послідовності 6, 13, 20, 27, 34, . . . . перший член дорівнює 6. тобто a ₁ = 6 (або) a = 6.

Загальна відмінність арифметичної прогресії:

Ми знаємо, що AP — це послідовність, у якій кожен член, окрім першого, отримується додаванням фіксованого числа до його попереднього члена. Тут «фіксоване число» називається « загальною різницею » і позначається «d», тобто якщо перший член дорівнює ₁ , то: другий доданок — ₁ + d, третій доданок — ₁ + d. + d = a ₁ + 2d, а четвертий член це a ₁ + 2d + d= a ₁ + 3d і так далі. Наприклад, у послідовності 6, 13, 20, 27, 34,. . . , кожен доданок, окрім першого, виходить шляхом додавання 7 до його попереднього доданка. Таким чином, загальна різниця становить d=7. Загалом, загальною відмінністю є різниця між кожними двома послідовними термінами AP. Таким чином, формула для обчислення загальної різниці AP: d = a _n – a _n-1 .

Ось кілька прикладів AP з їх першим членом і загальною відмінністю.

• 6, 13, 20, 27, 34, . . . . є AP з першим членом 6 і загальною різницею 7.
• 91, 81, 71, 61, 51, . . . . це AP з першим членом 91 і загальною різницею -10.
• π, 2π, 3π, 4π, 5π,… – це AP з першим членом π і загальною різницею π.
• -√3, −2√3, −3√3, −4√3, −5√3,… це AP з першим членом -√3 і загальною різницею -√3.

N-й член арифметичної прогресії

Загальний член (або) н-ий член АР, першим членом якого є «a», а загальною різницею є «d», визначається формулою a _n = a + (n – 1) d. Наприклад, щоб знайти загальний член (або) n-й ^член прогресії 6, 13, 20, 27, 34,. . . ., ми підставляємо перший доданок, a ₁ = 6, і загальну різницю, d = 7 у формулу для формули n-го ^{доданка} . Тоді ми отримуємо, a _n = a + (n – 1) d = 6 + (n – 1) 7 = 6 + 7n – 7 = 7n -1. Таким чином, загальний член (або) n ^-й член цього AP: a _n = 7n – 1. Але яка користь від знаходження загального члена AP? Давайте подивимось.

Використання формули AP для загального терміну

Ми знаємо, що щоб знайти термін, ми можемо додати «d» до його попереднього члена. Наприклад, якщо нам потрібно знайти 6- ^й член числа 6, 13, 20, 27, 34, . . ., ми можемо просто додати d = 7 до 5- ^го члена, який дорівнює 34. Тоді 6 ^-й член = 5 ^-й член + 7 = 34 + 7 = 41. Але що, якщо нам потрібно знайти 102- ^й член? Чи не важко порахувати вручну? У цьому випадку ми можемо просто підставити n = 102 (а також a = 6 і d = 7 у формулу n-го ^члена AP). Тоді отримуємо:

a _n = a + (n – 1) d

a ₁₀₂ = 6 + (102 – 1) 7 = 6 + (101) 7 = 713

Отже, 102 ^-й член заданого AP 6, 13, 20, 27, 34, …. дорівнює 713. Таким чином, загальний член (або) n-й член ^AP називається явною формулою арифметичної послідовності і може використовуватися для пошуку будь-якого члена AP без пошуку його попереднього члена.

У наведеній нижче таблиці наведено деякі приклади AP і перший термін, загальну відмінність і загальний термін у кожному випадку.

Арифметична прогресія	Перший термін	Загальна різниця	Загальний термін (n -й термін)
AP	a	d	a n = a + (n-1)d
91, 81, 71, 61, 51, . . .	91	-10	-10n + 101
π, 2π, 3π, 4π, 5π,…	π	π	πn
–√3, −2√3, −3√3, −4√3–,…	-√3	-√3	-√3 п

Сума арифметичної прогресії

Розглянемо арифметичну прогресію (AP), першим членом якої є ₁ (або) a, а загальною різницею є d.

• Сума перших n членів арифметичної прогресії, коли n ^-й член НЕ відомий, дорівнює S n₌ (n/2) [2a + (n – 1) d]
• Сума перших n членів арифметичної прогресії коли відомий n ^-й член (a _{n ), дорівнює S n} = n/2[a ₁ + a _n ]

Приклад: містер Кевін заробляє 400 000 доларів США на рік, і його зарплата збільшується на 50 000 доларів США на рік. Тоді скільки він заробляє в кінці перших 3 років?

Рішення: Сума, яку заробив пан Кевін за перший рік, становить a = 4 00 000. Приріст на рік становить d = 50 000. Ми повинні підрахувати його заробіток за 3 роки. Отже, n = 3.

Підставляючи ці значення у формулу суми AP,

S _n = n/2 [2a + (n – 1) d]

S _n = 3/2(2(400000) + (3 – 1)(50000))

= 3/2 (800000 + 100000)

= 3/2 (900000)

= 1350000

За 3 роки він заробив 1 350 000 доларів.

Ми можемо отримати ту саму відповідь, подумавши також так: сума, зароблена за 3 роки = 400000 + 450000 + 500000 = 1350000. Це можна обчислити вручну, оскільки n є меншим значенням. Але наведені вище формули корисні, коли n є більшим значенням.

Формула виведення суми AP

Розглянемо перші n членів арифметичної прогресії a ₁ , a ₁ + d, a ₁ + 2d, …., a ₁ + (n – 1) d. Припустимо, що сума цих n доданків дорівнює S _n . Потім

S _n = a ₁ + (a ₁ + d) + (a ₁ + 2d) + … + [a ₁ + (n–1)d].

Ми також можемо почати з n- ^го члена і послідовно віднімати спільну різницю, отже,

S _n = a _n + (a _n – d) + (a _n – 2d) + … + [a _n – (n–1)d].

Таким чином, суму арифметичної прогресії можна знайти будь-яким із способів. Однак, додавши ці два рівняння разом, ми отримаємо

S _n = a ₁ + (a ₁ + d) + (a ₁ + 2d) + … + [a ₁ + (n–1)d]

S _n = a _n + (a _n – d) + (a _n – 2d) + … + [a _n – (n–1)d]

_______________________________________

2S _n = (a ₁ + a _n ) + (a ₁ + a _n ) + (a ₁ + a _n ) + … + (a ₁ + a _n ).

____________________________________________

Зверніть увагу, що всі члени d скасовано. Так,

2S _n = n (a ₁ + a _n )

⇒ S _n = [n(a ₁ + a _n )]/2 — (1)

Підставивши a _n = a ₁ + (n – 1)d в останню формулу, ми маємо

S _n = n/2 [a ₁ + a ₁ + (n – 1)d] …Спрощення

S _n = n/2 [2a ₁ + (n – 1)d] — (2)

Ці дві формули (1) і (2) допомагають швидко знайти суму арифметичного ряду.

Відмінності між арифметичною прогресією та геометричною прогресією

У наведеній нижче таблиці пояснюються відмінності між арифметичною та геометричною прогресією :

Власність	Арифметична прогресія	Геометрична прогресія
Визначення	Це послідовність, у якій різниця між кожними двома послідовними членами постійна.	Це послідовність, у якій відношення кожних двох послідовних членів є постійним.
Загальна різниця/співвідношення	d	r
Загальна форма	a, a + d, a + 2d, a + 3d, …	a, ar, ar 2 , ar 3 , …
формула n-го доданка	a + (n – 1) d	ar n – 1
Формула суми n доданків	n/2 [2a + (n – 1)d]	(a(r n – 1)) / (r – 1)
Як відрізняються умови?	Послідовні члени змінюються лінійно.	Послідовні терміни змінюються експоненціально.

Важливі зауваження щодо арифметичної прогресії:

• AP — це список чисел, у якому кожен термін отримано шляхом додавання фіксованого числа до попереднього числа.
• a представлено як перший доданок, d – загальна різниця, a _n як n- ^й доданок, а n як кількість доданків.
• Загалом AP можна представити як a, a + d, a + 2d, a + 3d, …
• n- ^й член AP можна отримати за допомогою a _n = a + (n − 1)d
• Сума AP може бути отримана як s _n = n/2 [2a + (n − 1) d]
• Графік AP — це пряма лінія із нахилом як загальною різницею.
• Спільна різниця не обов’язково має бути позитивною. Наприклад, у прогресії 16, 8, 0, −8, −16, … загальна різниця від’ємна (d = 8 – 16 = 0 – 8 = -8 – 0 = -16 – (-8) =… = -8).