Дискримінант широко використовується у випадку квадратних рівнянь і використовується для знаходження природи коренів. Хоча знайти дискримінант для будь-якого многочлена не так просто, існують формули для знаходження дискримінанта квадратних і кубічних рівнянь, які полегшують нашу роботу.
Давайте дізнаємося більше про дискримінант і його формули, а також зрозуміємо зв’язок між дискримінантом і природою коренів.
Що таке дискримінант в математиці?
Дискримінант – це полінома в математиці, яка є функцією коефіцієнтів полінома. Це корисно визначати, який тип розв’язків має поліномальне рівняння, не знаходячи їх фактично.
Тобто він розрізняє розв’язки рівняння (як рівні та нерівні; дійсні та недійсні) і звідси назва «дискримінант».
Зазвичай його позначають Δ або D. Значенням дискримінанта може бути будь-яке дійсне число (тобто додатне, від’ємне або 0).
Формула дискримінанта
Дискримінант (Δ або D) будь-якого полінома виражається його коефіцієнтами. Ось дискримінантні формули для кубічного рівняння та квадратного рівняння.
Давайте подивимося, як використовувати ці формули для знаходження дискримінанта.
Як знайти дискримінант?
Щоб знайти дискримінант кубічного або квадратного рівнянь, нам просто потрібно порівняти задане рівняння з його стандартною формою та спочатку визначити коефіцієнти. Потім ми підставляємо коефіцієнти у відповідну формулу, щоб знайти дискримінант.
Дискримінант квадратного рівняння
Дискримінант квадратного рівняння ax 2 + bx + c = 0 виражається через його коефіцієнти a, b і cie,
- Δ АБО D = b 2 − 4ac
Ви пам’ятаєте, як раніше використовували b 2 − 4ac? Так, це частина квадратичної формули : x =−b±√b2−4aв2a−�±�2−4�в2�. Тут вираз, що міститься в квадратному корені квадратної формули, називається дискримінантом квадратного рівняння . Квадратична формула через дискримінант: x =−b±√Д2a−�±Д2�.
Приклад: Знайдіть дискримінант квадратного рівняння 2x 2 – 3x + 8 = 0.
Порівнюючи рівняння з ax 2 + bx + c = 0, ми отримуємо a = 2, b = -3 і c = 8. Отже, дискримінант:
Δ OR D = b 2 − 4ac = (-3) 2 – 4 (2)(8) = 9 – 64 = -55 .
Дискримінант кубічного рівняння
Дискримінант кубічного рівняння ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 визначається через a, b, c і die,
- Δ або D = b 2 c 2 − 4ac 3 − 4b 3 d − 27a 2 d 2 + 18abcd
Приклад: Знайдіть дискримінант кубічного рівняння x 3 – 3x + 2 = 0.
Порівнюючи рівняння з ax 3 + bx 2 + cx + d = 0, ми маємо a = 1, b = 0, c = -3 і d = 2. Отже, його дискримінант:
Δ або D = b 2 c 2 − 4ac 3 − 4b 3 d − 27a 2 d 2 + 18abcd
= (0) 2 (-3) 2 − 4(1)(-3) 3 − 4(0) 3 (2 ) − 27(1) 2 (2) 2 + 18(1)(0)(-3)(2)
= 0 + 108 – 0 – 108 + 0
= 0
Дискримінант і природа коренів
Корені квадратного рівняння ax 2 + bx + c = 0 — це значення x, які задовольняють рівняння. Їх можна знайти за допомогою квадратичної формули: x =−b±√Д2a−�±Д2�. Хоча ми не можемо знайти корені, використовуючи лише дискримінант, ми можемо визначити природу коренів наступним чином.
Якщо дискримінант додатний
Якщо D > 0, квадратне рівняння має два різні дійсні корені. Це пояснюється тим, що, коли D > 0, корені задані x =−b±√ Додатне число 2a−�± Додатне число 2�а квадратний корінь із позитивного числа завжди дає дійсне число. Отже, коли дискримінант квадратного рівняння більший за 0, воно має два корені, які є різними дійсними числами.
Якщо дискримінант негативний
Якщо D < 0, квадратне рівняння має два різних комплексних кореня. Це пояснюється тим, що, коли D < 0, корені задані x =−b±√ Від’ємне число 2a−�± Від’ємне число 2�а квадратний корінь із від’ємного числа завжди призводить до уявного числа. Наприклад√−4−4= 2i. Отже, коли дискримінант квадратного рівняння менше 0, воно має два корені, які є різними і комплексними числами (недійсними).
Якщо дискримінант дорівнює нулю
Якщо D = 0, то квадратне рівняння має два рівних дійсних кореня . Іншими словами, коли D = 0, квадратне рівняння має лише один дійсний корінь. Це пояснюється тим, що, коли D = 0, корені задані x =−b±√ 0 2a−�± 0 2�і квадратний корінь з 0 дорівнює 0. Тоді рівняння перетворюється на x = -b/2a, що є лише одним числом. Отже, коли дискримінант квадратного рівняння дорівнює нулю, воно має лише один дійсний корінь.
Корінь — це не що інше, як координата x точки перетину х квадратичної функції. Графік квадратичної функції в кожному з цих 3 випадків може бути таким.
Важливі зауваження щодо дискримінанта:
- Дискримінантом квадратного рівняння ax 2 + bx + c = 0 є Δ OR D = b 2 − 4ac.
- Квадратне рівняння з дискримінантом D має:
(i) два нерівних дійсних кореня, коли D > 0
(ii) лише один дійсний корінь, коли D = 0
(iii) немає дійсних коренів або два комплексні корені, коли D < 0
