Формули скороченого множення

Формули для скороченого множення

У нас є сума (різниця) двох чисел і нам необхідно позбутися дужок, використовуючи формули для скороченого множення :(x + y) ² = x ² + 2xy + y ²
(x – y) ² = x ² – 2xy + y ²

Приклад:

якщо x = 10, y = 5a
(10 + 5a) ² = 10 ² + 2.10.5a + (5a) ² = 100 + 100a + 25a ²
(10 – 4) ² = 10 ² – 2.10.4 + 4 ² = 100 – 80 + 16 = 36
Звичайно, якщо ми маємо таку ситуацію:
25 + 20a + 4a ² = 5 ² + 2.2.5 + (2a) ² = (5 + 2a) ²

(x + y) ³ = x ³ + 3x ² y + 3xy ² + y ³
(x – y) ³ = x ³ – 3x ² y + 3xy ² – y ³

Приклад: (1 + a ² ) ³ = 1 ³ + 3.1 ² .a ² + 3.1.(a ² ) ² + (a ² ) ³ = 1 + 3a ² + 3a ⁴ + a ⁶(x + y + z) ² = x ² + y ² + z ² + 2xy + 2xz + 2yz
(x – y – z) ² = x ² + y ² + z ² – 2xy – 2xz + 2yz

Приклад: 9a ² – 25b ² = (3a) ² – (5b) ² = (3a – 5b)(3a + 5b)x ³ – y ³ = (x – y) (x ² + xy + y ² )
x ³ + y ³ = (x + y) (x ² – xy + y ² )Якщо n є натуральним числомx ⁿ – y ⁿ = (x – y) (x ^n-1 + x ^n-2 y + … + y ^n-2 x + y ^n-1 )

Якщо n є парне (n = 2k)x ⁿ + y ⁿ = (x + y)(x ^n-1 – x ^n-2 y +…+ y ^n-2 x – y ^n-1 )

Якщо n є непарним (n = 2k + 1)x ⁿ + y ⁿ = (x + y)(x ^n-1 – x ^n-2 y +…- y ^n-2 x + y ^n-1 )

Більше формули

2(a ² + b ² ) = (a + b) ² + (a – b) ²
(a + b) ² – (a – b) ² = 4ab
(a – b) ² = (a + b) ² – 4ab
a ⁴ – b ⁴ = (a + b) (a – b) [(a + b) ² – 2ab]

Завдання з формулами скороченого множення

1) Спростити вираз:
\displaystyle (a – b)^2 – 2(a – b)(a + b) + (a + b)^2 =( a−b )2−2 ( a−b ) ( a+b )+( a+b )2=

Рішення:
\displaystyle a^2 – 2ab + b^2 – 2(a^2 – b^2) + a^2 + 2ab + b^2 = 2a^2 + 2b^2 – 2a^2 + 2b^2 = 4b ^2a2−2 ab+b2−2 ( a2−b2)+a2+2 ab+b2=2 a2+2 b2−2 a2+2 b2=4 b2

2) Спростити вираз:
\displaystyle (x^2 + 2)^2 – (x – 2)(x + 2)(x^2 + 4)=( x2+2 )2−( x−2 ) ( x+2 ) ( x2+4 )=

Рішення:
\displaystyle x^4 + 4x^2 + 4 – (x^2 – 4)(x^2 + 4)=x^4 + 4x^2 + 4 – (x^4 – 16) = x^4 + 4x ^2 + 4 – x^4 + 16 = 4x^2 + 20x4+4 x2+4−( x2−4 ) ( x2+4 )=x4+4 x2+4−( x4−16 )=x4+4 x2+4−x4+16=4 x2+20

3) Розв’яжіть рівняння: x ² – 25 = 0
Розв’язання: x ² – 25 = (x – 5)(x + 5)
=> щоб розв’язати це рівняння ми повинні вирішити 2 наступних вирази:
x – 5 = 0 або x + 5 = 0 і тому рівняння має два рішення: x = 5 та x = -5

Відео – формули скороченого множення