Площа бічної поверхні піраміди

Площа бічної поверхні піраміди

Теоретичний матеріал для самостійного вивчення

Знайти площу бічної поверхні піраміди

Визначення піраміди

Розглянемо багатокутник A 1 A 2 … A n і точку Р, що не лежить в площині цього багатокутника (рис.1). Поєднавши точку Р з вершинами багатокутника, отримаємо n трикутників: PA 1 A 2 , PA 2 A 3 , …, PA n A 1 .

Багатогранник, складений з n-кутника A 1 A 2 … A n і n трикутників, називається пірамідою. Багатокутник A 1 A 2 … A n називається підставою , а трикутники PA 1 A 2 , PA 2 A 3 , …, PA n A 1 – бічні грані піраміди, відрізки PA 1 , PA 2 , …, PA n – бічні ребра піраміди, точка Р – вершина піраміди. Піраміду з повним правом A 12 … A n і вершиною Р називають n-вугільної пірамідою і позначають PA 1 A 2 … A n .

Малюнок 1 – піраміда

Висота піраміди

Перпендикуляр, проведений з вершини піраміди до площини підстави, називається заввишки піраміди. На малюнку 1 PH є висотою. Зверніть увагу, що висота може лежати і поза пірамідою (рис. 3) або бути одним з бічних ребер (рис. 4).

Малюнок 3 – висота поза пірамідою

Малюнок 4 – Висота піраміди – бічне ребро

Правильна піраміда

Будемо називати піраміду правильною, якщо її основа – правильний багатокутник, а відрізок, що з’єднує вершину піраміди з центром підстави, є її заввишки. Нагадаємо, що центром правильного багатокутника називається центр вписаною в нього (або описаного навколо нього) окружності (рис.5).

Малюнок 5 – Правильна піраміда

Правильна піраміда володіє декількома хорошими властивостями. Давайте з’ясуємо, якими.

Розглянемо правильну піраміду PA 1 A 2 … A n (рис. 5).

Нехай О – центр описаного навколо підстави окружності, тоді РВ – висота піраміди, значить РВ перпендикулярний будь-якої прямої, що лежить в площині підстави. Таким чином, висота РВ перпендикулярна радіусів А 1 О, А 2 О, … А n О.

Освічені висотою і радіусами трикутники є прямокутними. Причому, ці трикутники мають загальний катет – РВ і рівні катети А 1 О, А 2 О, … А n О (рівні як радіуси). Значить, трикутники РОА 1 , РОА 2 , … РОА n рівні за двома катетам, значить рівні гіпотенузи PA 1, РA 2 … РA n , які є боковими ребрами правильної піраміди.

Бічні ребра піраміди рівні, значить бічні грані – трикутник. Підстави цих трикутників рівні один одному, так як в основі лежить правильний багатокутник. Отже, бічні грані рівні по третьому ознакою рівності трикутників.

Таким чином, вірні наступні твердження:

  • Всі бічні ребра правильної піраміди рівні.
  • Бічні ребра правильної піраміди є рівними рівнобокими трикутниками.

Введемо ще одне визначення. Апофемой називається висота бічної грані правильної піраміди, проведена з її вершини. На малюнку 5 PE – одна з апофему.

Все апофеми правильної піраміди дорівнюють один одному як висоти в рівних трикутниках.

Усічена піраміда

Візьмемо довільну піраміду PA 1 A 2 … A n і проведемо січну площину β, паралельну площині основи піраміди α і перетинає бічні ребра в точках В 1 , В 2 , … У n (рис. 6). Площина β розбиває піраміду на два багатогранника. Багатогранник, гранями якого є n-косинці A 1 A 2 … A n і В 1 В 2 … У n ( нижню і верхню підстави відповідно о), розташовані в паралельних площинах і n чотирикутників A 1 A 2 B 2 B1 , A 2 A 3 B 3 B 2 , … A 1 A n B n B (бічні грані ), називається усіченою пірамідою.

Малюнок 6 – Усічена піраміда

Відрізки A 1 B 1 , A 2 B 2 , … A n B n називають бічними ребрами усіченої піраміди.

Усічену піраміду з підставами A 1 A 2 … A n і В 1 В 2 … У n позначають у такий спосіб: A 1 A 2 … A n В 1 В 2 … У n.

Перпендикуляр, проведений з якої-небудь точки одного підстави до площини іншої основи називається висотою усіченої піраміди. На малюнку 7 відрізки HH 1 і В1O-висоти усіченої піраміди.

Малюнок 7 – Висота усіченої піраміди

Площа поверхні піраміди

Площею повної поверхні піраміди називаються сума площ всіх її граней, а площею бічній поверхні піраміди – сума площ її бічних граней.

Для піраміди, вірно рівність S повн = S бік + S осн .

Доведемо теорему для площі бічної поверхні правильної піраміди.

Теорема. Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині твори периметра підстави на апофему.

Для площі бічної поверхні зрізаної піраміди вірна наступна теорема

Теорема. Площа бічної поверхні правильної зрізаної піраміди дорівнює добутку напівсуми периметрів підстав на апофему.

Приклади і розбір рішення завдань тренувального модуля

Завдання 1. У п’ятикутної піраміди все бічні грані рівні між собою. Площа підстави дорівнює 42, а площа бічної грані на 15 менше. Чому дорівнює площа повної поверхні піраміди?

Рішення

Оскільки в піраміді всі бічні грані рівні, то і площі їх будуть рівні. Знаємо, що площа бічної грані на 15 менше площі підстави, значить вона дорівнює 27. В п’ятикутної піраміди бічних граней 5. Таким чином площа повної поверхні дорівнює 27 * 5 + 42 = 177.

Відповідь: 177

Завдання 2. У правильній піраміді висота бічної грані дорівнює 10, а в основі лежить квадрат зі стороною 4. Чому дорівнює площа бічної поверхні?

Рішення

Бічна грань піраміди – це трикутник. Всі бічні грані цієї піраміди рівні між собою, так як піраміда правильна. Обчислимо площу трикутника: ½ * 4 * 10 = 20. В основі піраміди лежить квадрат, значить бічних граней буде 4. Таким чином, площа бічної поверхні дорівнює 4 * 20 = 80.

Відповідь: 80

Знайти площу бічної поверхні правильної трикутної піраміди

Піраміда – це багатогранна фігура, в основі якої лежить багатокутник, а інші грані представлені трикутниками із загальною вершиною.

Площа бічної поверхні піраміди

Якщо в основі лежить квадрат, то піраміда називається чотирикутною , якщо трикутник – то трикутною . Висота піраміди проводиться з її вершини перпендикулярно основи. Також для розрахунку площі використовується апофема – висота бічної грані, опущена з її вершини.
Формула площі бічної поверхні піраміди являє собою суму площ її бічних граней, які рівні між собою. Однак цей спосіб розрахунку застосовується дуже рідко. В основному площа піраміди розраховується через периметр підстави і апофему:

Розглянемо приклад розрахунку площі бічної поверхні піраміди.

Нехай дана піраміда з підставою ABCDE і вершиною F . AB = BC = CD = DE = EA = 3 см. Апофема a = 5 см. Знайти площу бічної поверхні піраміди.
Знайдемо периметр. Так як всі грані підстави рівні, то периметр п’ятикутника буде дорівнює: 

P = 5 * 3 = 15 cm

Тепер можна знайти бічну площа піраміди:

S_bok = {1/2} * 15 * 5 = 37,5 {cm} ^ 2

Площа правильної трикутної піраміди

Правильна трикутна піраміда складається з підстави, в якому лежить правильний трикутник і трьох бічних граней, які дорівнюють за площею.

Формула площі бічної поверхні правильної трикутної піраміди може бути розрахована різними способами. Можна застосувати звичайну формулу розрахунку через периметр і апофему, а можна знайти площу однієї грані і помножити її на три. Так як грань піраміди – це трикутник, то можна застосувати формулу площі трикутника. Для неї потрібно апофема і довжина підстави. Розглянемо приклад розрахунку площі бічної поверхні правильної трикутної піраміди.

Дана піраміда з апофемой a = 4 см і гранню підстави b = 2 см. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.
Для початку знаходимо площа однієї з бічних граней. В даному випадку вона буде: 

S = {1/2} ab

Підставляємо значення в формулу: 

S = {1/2} * 4 * 2 = 4 {cm} ^ 2

Так як в правильній піраміді всі бічні сторони однакові, то площа бічної поверхні піраміди буде дорівнює сумі площ трьох граней. відповідно:

S = 3S_gr S = 3 * 4 = 12 {cm} ^ 2

Площа усіченої піраміди

Усіченої пірамідою називається багатогранник, який утворюється пірамідою і її перетином, паралельним основи.

S = 1/2 {(p_1 + p_2)} a

Формула площі бічної поверхні зрізаної піраміди дуже проста. Площа дорівнює добутку половини суми периметрів підстав на апофему:

Розглянемо приклад розрахунку площі бічної поверхні зрізаної піраміди.

Дана правильна чотирикутна піраміда. Довжини підстави рівні b = 5 см, c = 3 см. Апофема a = 4 см. Знайдіть площу бічної поверхні фігури.
Для початку знайдемо периметр підстав. У більшому підставі він буде дорівнює: 

p_1 = 4b = 4 * 5 = 20 cm

В меншому підставі: 

p_2 = 4c = 4 * 3 = 12 cm

Порахуємо площу:

S = 1/2 {(20 + 12)} * 4 = {32/2} * 4 = 64 {cm} ^ 2

Таким чином, застосувавши нескладні формули, ми знайшли площу усіченої піраміди.

Як знайти площу бічної поверхні шестикутної піраміди

Площа шестикутної піраміди

Піраміда, в основі якої лежить правильний шестикутник, а бічні сторони утворюються правильними трикутниками, називається шестикутною .

Цей багатогранник відрізняється безліччю властивостей:

  • Всі сторони і кути підстави рівні між собою;
  • Всі ребра і двогранні вугілля піраміди є рівними між собою;
  • Трикутники, що утворюють бічні сторони однакові, відповідно, у них однакові площі, сторони і висоти.

Для розрахунку площі правильної шестикутної піраміди застосовується стандартна формула площі бічної поверхні шестикутної піраміди:

де P – периметр підстави, a – довжина апофеми піраміди. У більшості випадків можна розрахувати бічну площа по цій формулі, проте іноді можна скористатися і іншим методом. Так як бічні грані піраміди утворені рівними трикутниками, можна знайти площу одного трикутника, а потім помножити його на кількість бічних сторін. У шестикутної піраміди їх 6. Але цей спосіб можна застосовувати і при розрахунку площі трикутної піраміди. Розглянемо приклад розрахунку площі бічної поверхні шестикутної піраміди.

Нехай дана правильна шестикутна піраміда, в якій апофема дорівнює a = 7 см, сторона підстави b = 3 см. Розрахуйте площа бічної поверхні багатогранника.
Для початку знайдемо периметр підстави. Так як піраміда правильна – в її основі лежить правильний шестикутник. Значить, все його сторони рівні, а периметр розраховується за формулою: 

P = 6 * b

Підставляємо дані в формулу: 

P = 6 * 3 = 18 cm

Тепер можемо легко знайти площу бічної поверхні, підставивши знайдене значення в основну формулу:

S_bok = {1/2} * 18 * 7 = 9 * 7 = 63 {cm} ^ 2

Також важливим моментом є пошук площі підстави. Формула площі підстави шестикутної піраміди виводиться з властивостей правильного шестикутника:

S_osn = {3sqrt {3}} / 2 * b ^ 2

Розглянемо приклад розрахунку площі підстави шестикутної піраміди, взявши за основу умови з минулого прімера.Із них ми знаємо, що сторона підстави b = 3 см. Підставами дані в формулу:

S_osn = {3sqrt {3}} / {2 * 3 ^ 2} = {3sqrt {3} * 9} / 2 = 4,5 * 3sqrt {3} = 22,95 {cm} ^ 2 S_poln = S_osn + S_bok

Формула площі шестикутної піраміди являє собою суму площі підстави і бічної розгортки:

Розглянемо приклад розрахунку площі шестикутної піраміди.

Нехай дана піраміда, в основі якої лежить правильний шестикутник зі стороною b = 4 см. Апофема заданого багатогранника дорівнює a = 6 см. Знайдіть повну площу.
Ми знаємо, що повна площа складається з площ підстави і бічної розгортки. Тому для початку знайдемо їх. Розрахуємо периметр:

P = 6 * 4 = 24 cm

Тепер знайдемо площу бічної поверхні:

S_bok = {1/2} * 24 * 6 = 12 * 6 = 72 {cm} ^ 2

Далі розраховуємо площу підстави, в якому лежить правильний шестикутник:

S_osn = {3sqrt {3}} / {2 * 4 ^ 2} = {3sqrt {3} * 16} / 2 = 3sqrt {3} * 8 = 40,8 {cm} ^ 2

Тепер можемо скласти отримані результати:

S_poln = 40,8 + 72 = 112,8 {cm} ^ 2

Відео – площа бічної поверхні піраміди

Сподобалася стаття? Поділитися з друзями:
Знай все! Портал для школярів
Залишити відповідь

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: