Площа трапеції

Площа трапеції
Зміст
  1. Прямокутна трапеція. Формули, ознаки та властивості прямокутної трапеції
  2. Ознаки прямокутної трапеції
  3. Основні властивості прямокутної трапеції
  4. Сторони прямокутної трапеції
  5. Середня лінія прямокутної трапеції
  6. Площа рівнобічної трапеції
  7. Ознаки рівнобедреної трапеції
  8. Основні властивості рівнобедреної трапеції
  9. Сторони рівнобедреної трапеції
  10. Формули довжин сторін рівнобедреної трапеції:
  11. Середня лінія рівнобедреної трапеції
  12. Формули довжини середньої лінії рівнобедреної трапеції:
  13. Висота рівнобедреної трапеції
  14. Формули визначення довжини висоти рівнобедреної трапеції:
  15. Діагоналі рівнобедреної трапеції
  16. Формули довжини діагоналей рівнобедреної трапеції:
  17. Площа рівнобедреної трапеції
  18. Формули площі рівнобедреної трапеції:
  19. Окружність описана навколо трапеції
  20. Формула визначення радіуса описаної навколо трапеції кола:
  21. Відео – як знайти площу трапеції

Прямокутна трапеція. Формули, ознаки та властивості прямокутної трапеції

Визначення. Прямокутна трапеція – це трапеція у якої одна з бічних сторін перпендикулярна основам.

Ознаки прямокутної трапеції


Трапеція буде прямокутною якщо виконується одна з цих умов:
1. У тапеціі є два суміжних прямих кута:

∠BAD = 90 ° і ∠ABC = 90 °
2. Одна бічна сторона перпендикулярна основам:

AB 
┴ BC, AB 
┴ AD

Основні властивості прямокутної трапеції


1. У трапеції є два суміжних прямих кута:

∠BAD = ∠ABC = 90 °
2. Одна бічна сторона перпендикулярна основам:

AB 
┴ BC 
┴ AD
3. Висота дорівнює меншій бічній стороні:

h = AB

Сторони прямокутної трапеції


Формули довжин сторін прямокутної трапеції:
1. Формули довжини підстав через сторони і кут при нижньому підставі:

a = 
b + 
d cos α = 
b + 
c ctg α = 
b + √ 
2 – 
2
b = 
a – 
d cos α = 
a – 
c ctg α = 
a – √ 
2 – 
2
2. Формули довжини підстав через сторони, діагоналі і кут між ними:

a  = 
2
· Sin γ – 
b  = 
2
· Sin δ – 
b
c
c
b  = 
2
· Sin γ – 
a  = 
2
· Sin δ – 
a
c
c
3. Формули довжини підстав трапеції через площу і інші сторони:

a  = 
2S
– 
b       b  = 
2S
– 
a
c
c
4. Формула збоку через інші сторони і кут при нижньому підставі:

c = √ 
2 – ( 
a – 
b ) 
2 = ( 
a – 
b ) 
tg α = 
d sin α
5. Формули збоку через основи, діагоналі і кут між ними:

c  = 
2
· Sin γ  = 
2
· Sin δ
a + 
b
a + 
b
6. Формули збоку через площу, основи і кут при нижньому підставі:

c  = 
S
 = 
2S
m
a + 
b
d  = 
S
 = 
2S
m sin α

A + 
b ) 
sin α
7. Формула збоку через інші сторони, висоту і кут при нижньому підставі:

d  = 
a – 
b
 = 
c
 = 
h
 = √ 
2 + ( 
a – 
b ) 
2
cos α
sin α
sin α

Середня лінія прямокутної трапеції


Формули довжини середньої лінії прямокутної трапеції:
1. Формули середньої лінії через підставу, висоту (вона ж дорівнює стороні 
c ) і кут α при нижньому підставі:
m  = 
a – 
h ·
ctg α
 = 
b + 
h ·
ctg α
2
2
2. Формули середньої лінії через підстави і бічні сторони сторону:

m  = 
a –
√ 
2 – 
2
 = 
b +
√ 
2 – 
2
2
2

Площа рівнобічної трапеції

Визначення. Рівнобедрена трапеція – це трапеція у котрої бічні сторони рівні.

На цій сторінці представлені формули характерні рівнобедреної трапеції. Не забувайте, що для рівнобедреної трапеції виконуються всі формули і властивості трапеції.

Ознаки рівнобедреної трапеції

Трапеція буде рівнобедреної якщо виконується одна з цих умов:1. Кути при основі рівні:

∠ABC = ∠BCD і ∠BAD = ∠ADC2. Діагоналі рівні:

AC = BD3. Однакові кути між діагоналями і підставами:

∠ABD = ∠ACD, ∠DBC = ∠ACB, ∠CAD = ∠ADB, ∠BAC = ∠BDC4. Сума протилежних кутів дорівнює 180 °:

∠ABC + ∠ADC = 180 ° і ∠BAD + ∠BCD = 180 °5. Навколо трапеції можна описати коло

Основні властивості рівнобедреної трапеції

1. Сума кутів прилеглих до бічної сторони рівнобедреної трапеції дорівнює 180 °:

∠ABC + ∠BAD = 180 ° і ∠ADC + ∠BCD = 180 °2. Якщо в рівнобедрений трапецію можна вписати коло, то бічна сторона дорівнює середній лінії трапеції:

AB = CD = m3. Навколо рівнобедреної трапеції можна описати коло4. Якщо діагоналі взаємно перпендикулярні, то висота дорівнює напівсумі підстав (середньої лінії):

h = m5. Якщо діагоналі взаємно перпендикулярні, то площа трапеції дорівнює квадрату висоти:

ABCD = h 26. Якщо в рівнобедрений трапецію можна вписати коло, то квадрат висоти дорівнює добутку основ трапеції:

2 = BC · AD7. Сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів бічних сторін плюс подвоєному добутку основ трапеції:

AC 2 + BD 2 = AB 2 + CD 2 + 2BC · AD8. Пряма, що проходить через середини підстав, перпендикулярна підставах і є віссю симетрії трапеції:

HF ┴ BC, HF ┴ AD9. Висота (CP), опущена з вершини (C) на більше підставу (AD), ділить його на великий відрізок (AP), який дорівнює напівсумі підстав і менший (PD) – дорівнює полуразность підстав:

AP = BC + AD
2
PD = AD – BC
2

Сторони рівнобедреної трапеції

Формули довжин сторін рівнобедреної трапеції:

1. Формули довжини сторін через інші сторони, висоту і кут:

a = b + 2 h ctg α = b + 2 c cos α

b = a – 2 h ctg α = a – 2 c cos α

c  = h = a – b
sin α2 cos α

2. Формула довжини сторін трапеції через діагоналі і інші сторони:

a  = 2 – c 2       b  = 2 – c 2       c  = √ d 2 – ab
ba

3. Формули довжини основ через площу, висоту і іншу основу:

a  = 2S– b       b  = 2S– a
hh

4. Формули довжини бічної сторони через площу, середню лінію і кут при основі:

з  = S
m sin α

5. Формули довжини бічної сторони через площу, підстави і кут при основі:

з  = 2S
( A + b ) sin α

Середня лінія рівнобедреної трапеції

Формули довжини середньої лінії рівнобедреної трапеції:

1. Формула визначення довжини середньої лінії через підстави, висоту і кут при підставі:

m = a – h ctg α = b + h ctg α = a – √ c 2 – h 2 = b + √ c 2 – h 22. Формула середньої лінії трапеції через площу і сторону:

m  = S
c sin α

Висота рівнобедреної трапеції

Формули визначення довжини висоти рівнобедреної трапеції:

1. Формула висоти через сторони:

h  = 1√ 4 c 2  – ( a – b ) 2
2

2. Формула висоти через сторони і кут прилеглий до основи:

h  = a – btg β =  C sin β
2

Діагоналі рівнобедреної трапеції

Діагоналі рівнобедреної трапеції рівні:

1 = d 2

Формули довжини діагоналей рівнобедреної трапеції:

1. Формула довжини діагоналі через сторони:

1 = √ з 2 + ab2. Формули довжини діагоналі по теоремі косинусів:

1 = √ a 2 + c 2 – 2 ac cos α

1 = √ b 2 + c 2 – 2 bc cos β3. Формула довжини діагоналі через висоту і середню лінію:

1 = √ h 2 + m 24. Формула довжини діагоналі через висоту і підстави:

1  = 1√ 4 h 2  + ( a  +  b ) 2
2

Площа рівнобедреної трапеції

Формули площі рівнобедреної трапеції:

1. Формула площі через сторони:

S = a  +  b√ 4 c 2 – ( a – b ) 2
4

2. Формула площі через сторони і кут:

S = ( b + c cos α ) c sin α = ( a – c cos α ) c sin α3. Формула площі через радіус вписаного кола і кут між основою і бічною стороною:

S = 4 r 2 = 4 r 2
sin αsin β

4. Формула площі через підстави і кут між основою і бічною стороною:

S = ab = ab
sin αsin β

5. Формула площі ранобедренной трапеції в яку можна вписати коло:

S = ( a + b ) · r  = √ ab · c  = √ ab · m6. Формула площі через діагоналі і кут між ними:

S = 2· Sin γ = 2· Sin δ
22

7. Формула площі через середню лінію, бічну сторону і кут при підставі:

S =  mc sin α  =  mc sin β8. Формула площі через підстави і висоту:

S = a + b· h
2

Окружність описана навколо трапеції

Окружність можна описати тільки навколо рівнобедреної трапеції !!!

Формула визначення радіуса описаної навколо трапеції кола:

1. Формула радіусу через сторони і діагональ:

R = a · c · d 1
4√ p ( p – a ) ( p – c ) ( p – d 1 )

де

p  = a  +  c  +  d 1
2

a – більше підставу

Відео – як знайти площу трапеції

Сподобалася стаття? Поділитися з друзями:
Знай все! Портал для школярів
Залишити відповідь

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: