Площа трапеції

Прямокутна трапеція. Формули, ознаки та властивості прямокутної трапеції

Визначення. Прямокутна трапеція – це трапеція у якої одна з бічних сторін перпендикулярна основам.

Ознаки прямокутної трапеції

Трапеція буде прямокутною якщо виконується одна з цих умов:
1. У тапеціі є два суміжних прямих кута:

∠BAD = 90 ° і ∠ABC = 90 °
2. Одна бічна сторона перпендикулярна основам:

AB 
┴ BC, AB 
┴ AD

Основні властивості прямокутної трапеції

1. У трапеції є два суміжних прямих кута:

∠BAD = ∠ABC = 90 °
2. Одна бічна сторона перпендикулярна основам:

AB 
┴ BC 
┴ AD
3. Висота дорівнює меншій бічній стороні:

h = AB

Сторони прямокутної трапеції

Формули довжин сторін прямокутної трапеції:
1. Формули довжини підстав через сторони і кут при нижньому підставі:

a = 
b + 
d cos α = 
b + 
c ctg α = 
b + √ 
d ² – 
c ²
b = 
a – 
d cos α = 
a – 
c ctg α = 
a – √ 
d ² – 
c ²
2. Формули довжини підстав через сторони, діагоналі і кут між ними:

a  = 
d ₁ d ₂
· Sin γ – 
b  = 
d ₁ d ₂
· Sin δ – 
b
c
c
b  = 
d ₁ d ₂
· Sin γ – 
a  = 
d ₁ d ₂
· Sin δ – 
a
c
c
3. Формули довжини підстав трапеції через площу і інші сторони:

a  = 
2S
– 
b       b  = 
2S
– 
a
c
c
4. Формула збоку через інші сторони і кут при нижньому підставі:

c = √ 
d ² – ( 
a – 
b ) 
² = ( 
a – 
b ) 
tg α = 
d sin α
5. Формули збоку через основи, діагоналі і кут між ними:

c  = 
d ₁ d ₂
· Sin γ  = 
d ₁ d ₂
· Sin δ
a + 
b
a + 
b
6. Формули збоку через площу, основи і кут при нижньому підставі:

c  = 
S
 = 
2S
m
a + 
b
d  = 
S
 = 
2S
m sin α
( 
A + 
b ) 
sin α
7. Формула збоку через інші сторони, висоту і кут при нижньому підставі:

d  = 
a – 
b
 = 
c
 = 
h
 = √ 
c ² + ( 
a – 
b ) 
²
cos α
sin α
sin α

Середня лінія прямокутної трапеції

Формули довжини середньої лінії прямокутної трапеції:
1. Формули середньої лінії через підставу, висоту (вона ж дорівнює стороні 
c ) і кут α при нижньому підставі:
m  = 
a – 
h ·
ctg α
 = 
b + 
h ·
ctg α
2
2
2. Формули середньої лінії через підстави і бічні сторони сторону:

m  = 
a –
√ 
d ² – 
c ²
 = 
b +
√ 
d ² – 
c ²
2
2

Площа рівнобічної трапеції

Визначення. Рівнобедрена трапеція – це трапеція у котрої бічні сторони рівні.

На цій сторінці представлені формули характерні рівнобедреної трапеції. Не забувайте, що для рівнобедреної трапеції виконуються всі формули і властивості трапеції.

Ознаки рівнобедреної трапеції

Трапеція буде рівнобедреної якщо виконується одна з цих умов:1. Кути при основі рівні:

∠ABC = ∠BCD і ∠BAD = ∠ADC2. Діагоналі рівні:

AC = BD3. Однакові кути між діагоналями і підставами:

∠ABD = ∠ACD, ∠DBC = ∠ACB, ∠CAD = ∠ADB, ∠BAC = ∠BDC4. Сума протилежних кутів дорівнює 180 °:

∠ABC + ∠ADC = 180 ° і ∠BAD + ∠BCD = 180 °5. Навколо трапеції можна описати коло

Основні властивості рівнобедреної трапеції

1. Сума кутів прилеглих до бічної сторони рівнобедреної трапеції дорівнює 180 °:

∠ABC + ∠BAD = 180 ° і ∠ADC + ∠BCD = 180 °2. Якщо в рівнобедрений трапецію можна вписати коло, то бічна сторона дорівнює середній лінії трапеції:

AB = CD = m3. Навколо рівнобедреної трапеції можна описати коло4. Якщо діагоналі взаємно перпендикулярні, то висота дорівнює напівсумі підстав (середньої лінії):

h = m5. Якщо діагоналі взаємно перпендикулярні, то площа трапеції дорівнює квадрату висоти:

S _ABCD = h ²6. Якщо в рівнобедрений трапецію можна вписати коло, то квадрат висоти дорівнює добутку основ трапеції:

h ² = BC · AD7. Сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів бічних сторін плюс подвоєному добутку основ трапеції:

AC ² + BD ² = AB ² + CD ² + 2BC · AD8. Пряма, що проходить через середини підстав, перпендикулярна підставах і є віссю симетрії трапеції:

HF ┴ BC, HF ┴ AD9. Висота (CP), опущена з вершини (C) на більше підставу (AD), ділить його на великий відрізок (AP), який дорівнює напівсумі підстав і менший (PD) – дорівнює полуразность підстав:

AP =	BC + AD
2

PD =	AD – BC
2

Сторони рівнобедреної трапеції

Формули довжин сторін рівнобедреної трапеції:

1. Формули довжини сторін через інші сторони, висоту і кут:

a = b + 2 h ctg α = b + 2 c cos α

b = a – 2 h ctg α = a – 2 c cos α

c  =	h	=	a – b
sin α	2 cos α

2. Формула довжини сторін трапеції через діагоналі і інші сторони:

a  =	d 1 2 – c 2	b  =	d 1 2 – c 2	c  = √ d 1 2 – ab
b	a

3. Формули довжини основ через площу, висоту і іншу основу:

a  =	2S	– b       b  =	2S	– a
h	h

4. Формули довжини бічної сторони через площу, середню лінію і кут при основі:

з  =	S
m sin α

5. Формули довжини бічної сторони через площу, підстави і кут при основі:

з  =	2S
( A + b ) sin α

Середня лінія рівнобедреної трапеції

Формули довжини середньої лінії рівнобедреної трапеції:

1. Формула визначення довжини середньої лінії через підстави, висоту і кут при підставі:

m = a – h ctg α = b + h ctg α = a – √ c ² – h ² = b + √ c ² – h ²2. Формула середньої лінії трапеції через площу і сторону:

m  =	S
c sin α

Висота рівнобедреної трапеції

Формули визначення довжини висоти рівнобедреної трапеції:

1. Формула висоти через сторони:

h  =	1	√ 4 c 2  – ( a – b ) 2
2

2. Формула висоти через сторони і кут прилеглий до основи:

h  =	a – b	tg β	=  C sin β
2

Діагоналі рівнобедреної трапеції

Діагоналі рівнобедреної трапеції рівні:

d ₁ = d ₂

Формули довжини діагоналей рівнобедреної трапеції:

1. Формула довжини діагоналі через сторони:

d ₁ = √ з ² + ab2. Формули довжини діагоналі по теоремі косинусів:

d ₁ = √ a ² + c ² – 2 ac cos α

d ₁ = √ b ² + c ² – 2 bc cos β3. Формула довжини діагоналі через висоту і середню лінію:

d ₁ = √ h ² + m ²4. Формула довжини діагоналі через висоту і підстави:

d 1  =	1	√ 4 h 2  + ( a  +  b ) 2
2

Площа рівнобедреної трапеції

Формули площі рівнобедреної трапеції:

1. Формула площі через сторони:

S =	a  +  b	√ 4 c 2 – ( a – b ) 2
4

2. Формула площі через сторони і кут:

S = ( b + c cos α ) c sin α = ( a – c cos α ) c sin α3. Формула площі через радіус вписаного кола і кут між основою і бічною стороною:

S =	4 r 2	=	4 r 2
sin α	sin β

4. Формула площі через підстави і кут між основою і бічною стороною:

S =	ab	=	ab
sin α	sin β

5. Формула площі ранобедренной трапеції в яку можна вписати коло:

S = ( a + b ) · r  = √ ab · c  = √ ab · m6. Формула площі через діагоналі і кут між ними:

S =	d 1 2	· Sin γ	=	d 1 2	· Sin δ
2	2

7. Формула площі через середню лінію, бічну сторону і кут при підставі:

S =  mc sin α  =  mc sin β8. Формула площі через підстави і висоту:

S =	a + b	· h
2

Окружність описана навколо трапеції

Окружність можна описати тільки навколо рівнобедреної трапеції !!!

Формула визначення радіуса описаної навколо трапеції кола:

1. Формула радіусу через сторони і діагональ:

R =	a · c · d 1
4√ p ( p – a ) ( p – c ) ( p – d 1 )

де

p  =	a  +  c  +  d 1
2

a – більше підставу

Відео – як знайти площу трапеції