Площа трикутника

Трикутник – не найпопулярніша фігура в природі і в нашому звичайному житті. Але нею постійно користуються дизайнери одягу, ювеліри, архітектори. І, напевно, знаходження площі трикутника є їх частим завданням. Детальніше на цю тему поговоримо в статті.

Як знайти площу трикутника

Основні поняття

Трикутник – це геометрична фігура, яка вийшла з трьох відрізків. Їх з’єднали трьома крапками, що не лежать на одній прямій. Відрізки прийнято називати сторонами, а точки – вершинами.

Площа – це чисельна характеристика, яка дає нам інформацію про розмір площини, обмеженій замкненій геометричній постатті.

Якщо параметри передані в різних одиницях довжини, ми не зможемо дізнатися яка площа трикутника вийде. Тому для правильного вирішення необхідно перевести всі дані до однієї одиниці виміру.

Популярні одиниці виміру

• квадратний міліметр (мм ² );
• квадратний сантиметр (см ² );
• квадратний дециметр (дм ² );
• квадратний метр (м ² );
• квадратний кілометр (км ² );
• гектар (га).

Формула площі трикутника

Для вирішення завдань застосовуються різні формули, в залежності від відомих вихідних даних. Далі ми розглянемо способи вирішення для всіх типів трикутників, в тому числі окремі випадки для рівносторонніх, рівнобедрених і прямокутних фігур.

Загальна формула

1. Площа трикутника через дві сторони і кут між ними.

S = 0,5 * a * b⋅sin (α), де a, b – сторони, α – кут між ними.

2. Площа трикутника через підставу і висоту.

S = 0,5 * a * h, де a – підстава, h – висота.

3. Площа трикутника через описану окружність і сторони.

S = (a * b * c): (4 * R), де a, b, c – сторони, R – радіус описаного кола.

4. Площа трикутника через вписану окружність і сторони.

S = r * (a + b + c): 2, де a, b, c – сторони, r – радіус вписаного кола.

Якщо враховувати, що (a + b + c): 2 – це спосіб пошуку напівпериметр. Тоді формулу можна записати в такий спосіб:

S = r * p, де p – напівпериметр.

5. Площа трикутника по стороні і двом прилеглим кутах.

S = a ² : 2 * (sin (α) ⋅sin (β)): sin (180 – (α + β)), де a – сторона, α і β – прилеглі кути, γ – протилежні кут.

6. Формула Герона для обчислення площі трикутника.

Спочатку необхідно підрахувати різницю напівпериметр і кожної його боку. Потім знайти твір отриманих чисел, помножити результат на напівпериметр і знайти корінь з отриманого числа.

S = √ p * (p – a) * (p – b) * (p – c), де a, b, c – сторони, p – напівпериметр, який можна знайти за формулою: p = (a + b + c): 2

Для прямокутного трикутника

Площа трикутника з кутом 90 ° по двом сторонам.

S = 0,5 * a * b, де a, b – сторони.

Площа трикутника по гіпотенузі і гострому куту.

S = 0,25 * c ² * sin (2α), де c – гіпотенуза, α – будь-який з прилеглих гострих кутів.

Гіпотенузою прийнято називати сторону, яка лежить навпроти прямого кута.

Площа прямокутного трикутника по катету і прилеглому куту.

S = 0,5 * a ² * tg (α), де a – катет, α – прилегла кут.

Катетом прийнято називати одну з двох сторін, що утворюють прямий кут.

Площа трикутника через гіпотенузу і по радіусу вписаного кола.

S = r * (r + c), де c – гіпотенуза, r – радіус вписаного кола.

Площа трикутника вписаного в коло.

S = c ₁ * c ₂ , де c ₁ , c ₂ – частини гіпотенузи.

Площа прямого трикутника за формулою Герона.

S = (p – a) * (p – b), де a, b – катети, p – напівпериметр, який розраховується за формулою p = (a + b + c): 2.

Для рівнобедреного трикутника

Пошук площі через підставу і сторону.

S = b: 4 * √ 4 * a ² – b ² , де a – бічна сторона, b – підстава.

Обчислення площі через підставу і кут.

S = 0,5 * a * b * sin (α), де a – бічна сторона, b – підстава, α – кут між підставою і стороною.

Обчислення площі через підставу і висоту.

S = 0,5 * b * h, де b – основа, h – висота, проведена до основи.

Пошук площі через бічні сторони і кут між ними.

S = 0,5 * a ² * sin (α), де a – бічна сторона, α – кут між бічними сторонами.

Площа рівнобедреного трикутника через підставу і кут між бічними сторонами.

S = b ² : (4 * tgα / 2), де b – основа, α – кут між бічними сторонами.

Площа рівностороннього трикутника через радіус описаного кола.

S = (3 * √ 3 * R ² ): 4, де R – радіус описаного кола.

Площа рівностороннього трикутника через радіус вписаного кола.

S = 3 * √ 3 * r ² , де r – радіус вписаного кола.

Площа рівностороннього трикутника через сторону.

S = (√ 3 * a ² ): 4, де a – сторона.

Площа рівностороннього трикутника через висоту.

S = h ² : √ 3, де h – висота.

Таблиця формул знаходження площі трикутника

У кожної геометричної фігури багато формул – запам’ятати всі відразу буває дійсно складно. У цій справі допоможе регулярне рішення задач і частий перегляд формул. Можна роздрукувати цю таблицю і використовувати, як закладку в зошиті або підручнику, і звертатися до неї в разі потреби.

Щоб дитина ще краще вчилася в школі, запишіть її на уроки математики. Літо – прекрасна пора, щоб займатися їй із задоволенням, в комфортному темпі, без контрольних і оцінок за чверть, валяючись в будинку на підлозі або за містом на травичці.

Відео – площа трикутника