Що таке раціональне число? Визначення та приклад раціонального числа

Раціональні числа

Раціональні числа мають форму m/n, де m і n можуть бути будь-яким цілим числом, а q ≠ 0. Це означає, що раціональні числа включають натуральні числа, цілі числа, частки цілих чисел і десяткові дроби (кінцеві десяткові дроби та повторювані десяткові дроби ). Давайте на цьому уроці дізнаємося більше про раціональні числа та про те, як ідентифікувати раціональні числа, а також приклади раціональних чисел .

Що таке раціональні числа?

Слово «раціональний» походить від слова «відношення». Отже, раціональні числа добре пов’язані з поняттям дробів, які представляють співвідношення. Іншими словами, якщо число можна виразити у вигляді дробу, де і чисельник, і знаменник є цілими числами, це число є раціональним.

Раціональні числа Означення

Раціональне число — це число, яке має форму n/m, де n і m — цілі числа, а m не дорівнює 0.

Набір раціональних чисел

Множину раціональних чисел позначають Q. Слід зазначити, що до раціональних чисел належать натуральні числа, цілі числа, цілі числа та десяткові числа.

Зверніть увагу на наступний малюнок, який визначає раціональне число.

Приклади раціональних чисел

Якщо число можна виразити у вигляді дробу, де і чисельник, і знаменник є цілими числами, це число є раціональним. Ось кілька прикладів раціональних чисел.

• 56 (що можна записати як 56/1)
• 0 (що є іншою формою 0/1)
• 1/2
• √16, що дорівнює 4
• -3/4
• 0,3 або 3/10
• -0,7 або -7/10
• 0,141414… або 14/99

Як визначити раціональні числа?

Раціональні числа можна легко ідентифікувати за допомогою наступних характеристик.

• Усі цілі числа, натуральні числа та дроби з цілими числами є раціональними числами.
• Якщо десяткова форма числа закінчується або повторюється, як у випадку 5,6 або 2,141414, ми знаємо, що це раціональні числа.
• Якщо десяткові дроби здаються нескінченними або неповторюваними, це називаються ірраціональними числами. Як і у випадку √5, яке дорівнює 2,236067977499789696409173… що є ірраціональним числом.
• Інший спосіб ідентифікації раціональних чисел — перевірити, чи можна число виразити у формі p/q, де p і q — цілі числа, а q не дорівнює 0.

Приклад: чи є 0,923076923076923076923076923076… раціональним числом?

Розв’язання: дане число має набір десяткових дробів 923076, які повторюються і повторюються постійно. Таким чином, це раціональне число.

Візьмемо інший приклад.

Приклад: чи є √2 раціональним числом?

Розв’язання: якщо ми запишемо десяткове значення √2, ми отримаємо √2 = 1,414213562…. це некінцевий і неповторюваний десятковий дріб. Тому це не є раціональним числом. Це ірраціональне число.

Раціональні числа в десятковій формі

Раціональні числа також можна виразити в десятковій формі. Чи знаєте ви, що 1,1 є раціональним числом? Так, це тому, що 1,1 можна записати як 1,1= 11/10. Тепер поговоримо про некінцеві десяткові дроби, такі як 0,333… Оскільки 0,333… можна записати як 1/3, отже, це раціональне число. Таким чином, десяткові дроби без закінчення, які мають повторювані числа після коми, також є раціональними числами.

Чи є 0 раціональним числом?

Так, 0 є раціональним числом, оскільки його можна записати як частку цілих чисел, наприклад 0/1, 0/-2 тощо. Іншими словами, 0/5 = 0, 0/-2 = 0, 0 /1 = 0 і так далі.

Список раціональних чисел

З наведеної вище інформації зрозуміло, що існує нескінченна кількість раціональних чисел. Отже, неможливо визначити весь список раціональних чисел. Однак кілька раціональних чисел можна назвати 3, 4,57, 3/4, 0, -7 тощо. Це показує, що всі натуральні числа, цілі числа, цілі числа, дроби та десяткові числа (кінцеві десяткові числа та повторювані десяткові числа) вважаються раціональними числами.

Додавання і віднімання раціональних чисел

Для додавання і віднімання раціональних чисел ми використовуємо однакові правила додавання і віднімання цілих чисел. Розберемося в цьому на прикладі.

Приклад: розв’язати 1/2 – (-2/3)

Розв’язання. Давайте розв’яжемо це за допомогою таких кроків:

• Крок 1: коли ми спрощуємо 1/2 – (-2/3), ми дотримуватимемося правила додавання та віднімання чисел, яке говорить, що факт віднімання може змінитися на факт додавання, а знак від’ємника змінюється на протилежний. Це становитиме 1/2 + 2/3
• Крок 2: Тепер нам потрібно додати ці дроби 1/2 + 2/3
• Крок 3: Використовуючи правила додавання дробів, ми перетворимо дані дроби на подібні дроби, щоб отримати спільні знаменники, щоб їх було легше складати. Для цього нам потрібно знайти НОК знаменників 2 і 3, який дорівнює 6. Потім ми перетворимо дроби на відповідні еквівалентні дроби, що становитиме 3/6 + 4/6. Це дасть суму як 7/6, яку можна записати у вигляді змішаного дробу116116

Множення і ділення раціональних чисел

Множення і ділення раціональних чисел можна виконувати так само, як і дроби. Щоб помножити будь-які два раціональні числа, ми окремо множимо їхні чисельники та знаменники та спрощуємо отриманий дріб. Розберемося в цьому на прикладі.

Приклад: помножте 3/5 × -2/7

Розв’язання. Давайте розв’яжемо це за допомогою таких кроків:

• Крок 1: щоб помножити 3/5 × (-2)/7, ми спочатку помножимо чисельники, а потім знаменники.
• Крок 2: У цьому випадку, коли ми множимо чисельники, це буде 3 × (-2) = -6.
• Крок 3: коли ми помножимо знаменники, це буде 5 × 7 = 35. Отже, добуток буде -6/35.

Коли нам потрібно поділити будь-які два дроби, ми множимо перший дріб (який є діленим) на величину, зворотну другому дробу (який є дільником) . Розберемося в цьому на прикладі.

Приклад: розділіть 3/5 ÷ 2/7

Розв’язання. Давайте розв’яжемо це за допомогою таких кроків:

• Крок 1: Щоб поділити 3/5 ÷ 2/7, ми спочатку запишемо зворотну величину другого дробу. Це становитиме 3/5 × 7/2
• Крок 2: Тепер ми помножимо чисельники. Це буде 3 × 7 = 21.
• Крок 3: Потім ми помножимо знаменники, і це буде 5 × 2 = 10. Отже, добуток буде 21/10 або21102110

Раціональні та ірраціональні числа

Числа, які НЕ є раціональними, називаються ірраціональними. Набір ірраціональних чисел представлено Q´. 

Поради та підказки щодо раціональних чисел

• Раціональні числа включають дроби та будь-яке число, яке можна виразити дробом.
• Натуральні числа, цілі числа, цілі числа, частки цілих чисел і кінцеві десяткові числа є раціональними числами.
• Некінцеві десяткові дроби з повторюваними моделями десяткових дробів, тобто повторювані десяткові дроби, також є раціональними числами.