Теорема косинусів

Теорема косинусів означає відношення довжин сторін трикутника до косинуса його кута. Його також називають правилом косинуса. Якщо ABC — трикутник, то відповідно до закону косинуса ми маємо:

a ²  = b ²  + c ²  – 2bc cos α, де a, b і c – сторони трикутника, а α – кут між сторонами b і c. 

Аналогічно, якщо β і γ є кутами між сторонами ca і ab відповідно, то відповідно до закону косинуса маємо:

b ² = a ²  + c ²  – 2ac cos β

c ² = b ²  + a ²  – 2ab cos γ

Факт: якщо будь-який із кутів α, β або γ дорівнює 90 градусам, тоді наведений вище вираз виправдовує теорему Піфагора, оскільки cos 90 = 0. Отже, наведені вище три рівняння можна виразити так:
a ² = b 
²  + c 
²     [якщо α = 90 градусів]
b ² = a 
²  + c 
²     [якщо β = 90 градусів]
c ² = b ² + a 
²     [якщо γ = 90 градусів]

Теорема косинусів визначення

У тригонометрії закон косинусів, також відомий як правило косинусів або формула косинусів, в основному пов’язує довжину трикутника з косинусами одного з його кутів. У ньому сказано, що якщо для трикутника відомі довжина двох сторін і кут між ними, то можна визначити довжину третьої сторони. Він надається:

c ² = a ² + b ² – 2ab cosγ

Де a, b і c — сторони трикутника, а γ — кут між a і b. Дивіться малюнок нижче.

Теорема косинусів формула

Відповідно до формули закону косинусів, щоб знайти довжину сторін трикутника, скажімо △ABC, ми можемо записати як;

• a ² = b ²  + c ²  – 2bc cos α
• b ²  = a ²  + c ²  – 2ac cos β
• c ²  = b ²  + a ²  – 2ba cos γ

І якщо ми хочемо знайти кути △ABC, то правило косинусів застосовується як;

• cos α = [b ² + c ²  – a ² ]/2bc
• cos β = [a ² + c ² – b ² ]/2ac  
• cos γ = [b ² + a ²  – c ² ]/2ab

Де a, b і c — довжини сторін трикутника.

Розв’язування конгруентності SSS

У конгруенції SSS ми знаємо довжини всіх трьох сторін трикутника, і нам потрібно знайти міру невідомого трикутника. Отже, користуючись законом косинусів, ми можемо знайти відсутній кут. 

Спочатку нам потрібно знайти один кут за допомогою закону косинуса, скажімо, cos α = [b ² + c ²  – a ² ]/2bc.

Потім ми знову знайдемо другий кут за тим самим законом, cos β = [a ² + c ² – b ² ]/2ac  

Тепер третій кут можна просто знайти за допомогою властивості суми кутів трикутника. Це означає, що сума всіх трьох кутів трикутника дорівнює 180 градусам.

Доказ

Тепер давайте вивчимо тут закон доказу косинусів ;

У прямокутному трикутнику BCD за визначенням функції косинуса:

cos C = CD/a

або

CD=a cos C

Віднімаючи наведене рівняння зі сторони b, отримуємо

DA = b − acosC ……(1)

У трикутнику BCD, згідно з визначенням синуса

sin C = BD/a

або

BD = a sinC ……(2)

У трикутнику ADB, якщо застосувати теорему Піфагора, то

c ² = BD ² + DA ²

Підставляючи BD і DA з рівнянь (1) і (2)

c ² = (a sin C) ² + (b-acosC) ²

Перехресним множенням отримуємо:

c ² = a ² sin ² C + b ² – 2abcosC + a ² cos ² C

Переставляючи наведене вище рівняння:

c ² = a ² sin ² C + a ² cos ² C + b ² – 2ab cosC

Винявши ² зі спільного множника, ми отримаємо;

c ² = a ² (sin ² C + cos ² C) + b ² – 2ab cosC

З наведеного вище рівняння ви знаєте, що

sin ² θ + cos ² θ = 1

∴ c ² = a ² + b ² – 2ab cosC

Отже, закон косинуса доведено.

Проблема і рішення

Давайте зрозуміємо цю концепцію, розв’язавши одну із задач закону косинусів.

Задача: Трикутник ABC має сторони a=10см, b=7см і c=5см. Тепер знайдіть його кут ‘x’.

рішення:

Розглянемо наведений нижче трикутник як трикутник ABC, де,

а=10 см

b=7 см

c=5 см

Використовуючи закон косинусів,

a ² = b ² + c ² – 2bc cos(x)

Або

cos x = (b ² + c ² – a ² )/2bc

Підставляючи значення сторін трикутника, тобто a,b і c, отримуємо

cos(x) = (7 ² + 5 ² – 10 ² )/(2 × 7 × 5)

cos(x)=(49 + 25 -100)/70

cos(x)= -0,37

Важливо розв’язувати більше задач на основі формули закону косинусів, змінюючи значення сторін a, b і c і перехресно перевіряючи калькулятор закону косинусів, наведений вище.

Часті запитання

Що таке закон косинуса?

Закон косинусів означає відношення довжин сторін трикутника до косинуса його кута.

Що стверджує закон косинуса?

Відповідно до закону косинуса, якщо ABC — трикутник, а α, β і γ — кути між сторонами трикутника відповідно, то маємо:
a ² = b ² + c ² – 2bc cos α
b ² = a ² + c ² – 2ac cos β
c ² = b ² + a ² – 2ba cos γ
де a, b і c – сторони трикутника.

Коли ми повинні використовувати закон косинусів?

Закон косинуса використовується для визначення третьої сторони трикутника, коли ми знаємо довжини двох інших сторін і кут між ними.

Чи можемо ми застосувати закон косинуса для всіх трикутників?

Закон косинуса поширюється не лише на прямокутні трикутники, його можна використовувати для всіх типів трикутників, де нам потрібно знайти будь-яку невідому сторону чи невідомий кут.

Як вирішити закон косинусів?

Закон косинуса в основному використовується для знаходження невідомої сторони трикутника, коли дано довжину двох інших сторін і кут між двома відомими сторонами. Отже, використовуючи наведену нижче формулу, ми можемо знайти довжину третьої сторони:
a ² = b ² + c ² -2bc cos α
, де a — невідома сторона, b і c — відомі сторони трикутника, а α — кут між b і c.

За якою формулою можна знайти кут за допомогою закону косинуса?

Формула для знаходження невідомих кутів за допомогою закону косинуса визначається так:
cos α = [b ² + c ² – a ² ]/2bc
cos β = [a ² + c ² – b ² ]/2ac
cos γ = [b ² + a ² – c ² ]/2ab

Формула косинусів

У тригонометрії закон косинусів, також відомий як формула косинусів або правило косинусів, пов’язує довжини сторін трикутника з косинусом одного з його кутів.

• a ²  =  b ²  +  c ²  −  2 b c . cosА
• b ²  =  a ²  + c ²  −  2 a c . cosБ
• c ²  =  a ²  +  b ²  −  2 a b . cosC

Розв’язані приклади

Запитання 1: Обчисліть косинус кута прямокутного трикутника, якщо прилегла сторона і гіпотенуза дорівнюють 12 см і 15 см відповідно?
рішення: враховуючи, Прилегла сторона = 12 см
Гіпотенуза = 15 см c o s θ  =  A 

c o s  θ  =  12  c м/ 15  c м

c o s  θ  = 0,8

Теорема косинусів – відео